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# 滤波器组共同空间模式算法
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- 来源 ID：S0111
- DOI：10.3389/fnins.2012.00039
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# BCI Competition IV 数据集 2a 和 2b 上的滤波器组公共空间模式算法
- 期刊：Frontiers in Neuroscience
- 作者：Kai Keng Ang；Zheng Yang Chin；Chuanchu Wang；Cuntai Guan；Haihong Zhang
- DOI：10.3389/fnins.2012.00039
- PMID：22479236
- PMCID：PMC3314883
## 摘要
公共空间模式（CSP）算法是二分类运动想象脑电图（EEG）数据分类中一种有效且常用的方法，但其效果取决于受试者特异性频带。本文在脑机接口（BCI）竞赛 IV 的数据集 2a 和 2b 上提出滤波器组公共空间模式（FBCSP）算法，用于优化 CSP 的受试者特异性频带。数据集 2a 包含 9 名受试者的 4 类、22 通道 EEG 数据；数据集 2b 包含 9 名受试者的 2 类、3 个双极通道 EEG 数据。为处理数据集 2a 的 4 类 EEG 数据，本文还提出 FBCSP 的三种多分类扩展，即分治法（DC）、成对法（PW）和一对其余法（OVR）。对于数据集 2b，本文提出两种特征选择算法来选取有判别力的 CSP 特征，即基于互信息的最佳单特征（MIBIF）算法和基于互信息的粗糙集约简（MIRSR）算法。两个数据集的单试次分类准确率分别采用训练数据上的 10 × 10 折交叉验证和评估数据上的跨会话迁移进行评价。BCI Competition IV 结束后公布的测试数据标签表明，与其他参赛算法相比，FBCSP 算法的相对表现最好；在数据集 2a 和 2b 的全部受试者上，平均 kappa 值分别为 0.569 和 0.600。
关键词：脑机接口；脑电图；互信息；特征选择；贝叶斯分类
## 1. 引言
<!-- P01 --> 基于运动想象的 BCI（MI-BCI）把对运动的心理想象转换为指令，其难点在于脑信号特征存在很大的受试者间差异（Blankertz et al., 2007）。公共空间模式（CSP）算法能够构造最优空间滤波器，有效区分 MI-BCI 中的 2 类脑电图（EEG）测量数据（Blankertz et al., 2008b）。要有效使用 CSP 算法，需要指定若干参数，包括 EEG 测量数据的带通滤波频率、相对于刺激选取 EEG 测量数据的时间区间，以及所用 CSP 滤波器的子集（Blankertz et al., 2008b）。常见的通用设置为 7–30 Hz 频带、提示出现 1 s 后开始的时间段，以及 2 或 3 个 CSP 滤波器子集（Blankertz et al., 2008b）。但采用受试者特异性参数可能进一步提高 CSP 算法的性能（Blankertz et al., 2007）。研究者已提出多种方法来选择 CSP 算法的最优时间频带。例如，公共空谱模式（CSSP）把一个延迟一个采样点的简单滤波器与 CSP 算法联合优化（Lemm et al., 2005）；公共稀疏谱空间模式（CSSSP）在 CSP 算法内同时优化任意有限冲激响应（FIR）滤波器（Dornhege et al., 2006）；谱加权公共空间模式（SPEC-CSP）算法则通过迭代过程，交替优化频域中的时间滤波器和空间滤波器（Tomioka et al., 2006）。
<!-- P02 --> 本文提出滤波器组公共空间模式（FBCSP）算法，通过自主选择有判别力的受试者特异性频率范围，对 EEG 测量数据进行带通滤波，从而提高 CSP 算法的性能（Ang et al., 2008）。FBCSP 算法本身只能有效区分 2 类 EEG 测量数据，但 BCI Competition IV 数据集 2a（Tangermann et al., 2012）包含左手、右手、足和舌运动想象的 4 类 EEG 测量数据。因此，本文还在数据集 2a 上提出并研究 FBCSP 的 3 种多分类扩展：分治法（DC）、成对法（PW）和一对其余法（OVR）。此外，本文使用 2 种基于互信息的特征选择算法，研究 FBCSP 算法在数据集 2b（Leeb et al., 2007）上的性能。
<!-- P03 --> 本文其余部分安排如下：第 2 节介绍 FBCSP 算法、FBCSP 的 3 种多分类扩展以及 2 种基于互信息的特征选择算法；第 3 节说明 BCI Competition IV 数据集 2a 和 2b 训练数据上的实验与结果；第 4 节以竞赛中 2 个数据集的评估数据结果作结。
## 2. 滤波器组公共空间模式
<!-- P04 --> 滤波器组公共空间模式（FBCSP）算法（Ang et al., 2008）的结构见图 1。FBCSP 对 EEG 数据依次进行 4 个阶段的信号处理和机器学习：由多个 Chebyshev II 型带通滤波器组成的滤波器组、使用 CSP 算法的空间滤波、CSP 特征选择，以及所选 CSP 特征的分类。每个滤波频带的 CSP 投影矩阵、有判别力的 CSP 特征和分类器模型，均由标注了相应运动想象动作的训练数据计算得到。评估阶段再使用训练阶段求得的这些参数，判定单试次的运动想象动作。
### 图 1：FBCSP 算法在训练阶段和评估阶段的结构。
### 2.1. 带通滤波
<!-- P05 --> 第一阶段使用滤波器组，通过因果 Chebyshev II 型滤波器把 EEG 分解到多个通带。共使用 9 个带通滤波器，频带依次为 4–8、8–12、…、36–40 Hz。滤波器组还可采用其他同样有效的配置；本文选择这些带通频率范围，是因为它们的频率响应稳定，并覆盖 4–40 Hz。
### 2.2. 空间滤波
<!-- P06 --> 第二阶段使用 CSP 算法进行空间滤波。CSP 算法在计算用于检测事件相关去同步/同步（ERD/ERS）的空间滤波器方面很有效（Pfurtscheller and Aranibar, 1979; Pfurtscheller and Lopes da Silva, 1999）。第一和第二阶段中的每组带通滤波器与空间滤波器，对已经按特定频率范围进行带通滤波的 EEG 测量数据进行空间滤波。因此，每组带通滤波器与空间滤波器计算得到的 CSP 特征都对应特定带通频率范围。CSP 算法按下式对 EEG 测量数据作线性变换：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E1"><label>(1)</label><ns0:math id="M39" overflow="scroll"><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">Z</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">W</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">E</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P07 --> 其中，<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M1" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">E</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ℝ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>c</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-bin">×</ns0:mo><ns0:mi>t</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 表示第 *i* 个试次经过第 *b* 个带通滤波器后的单试次 EEG 测量数据；<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M2" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">Z</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ℝ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>c</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-bin">×</ns0:mo><ns0:mi>t</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 表示 *E*<sub>*b,i*</sub> 经空间滤波后的结果；<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M3" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">W</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ℝ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>c</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-bin">×</ns0:mo><ns0:mi>c</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 表示 CSP 投影矩阵；*c* 是通道数，*t* 是每个通道的 EEG 样本数，*T* 表示转置运算。
<!-- P08 --> CSP 算法通过求解下列特征值分解问题，计算变换矩阵 *W*<sub>*b*</sub>，使所得特征的方差最适于区分 2 类 EEG 测量数据（Blankertz et al., 2008a; Ramoser et al., 2000; Müller-Gerking et al., 1999; Fukunaga, 1990）：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E2"><label>(2)</label><ns0:math id="M40" overflow="scroll"><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>Σ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">W</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>Σ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-bin">+</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>Σ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">W</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">D</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P09 --> 其中，Σ<sub>*b*,1</sub> 和 Σ<sub>*b*,2</sub> 分别是第 *b* 个带通滤波后的两类运动想象 EEG 测量数据的协方差矩阵估计，*D*<sub>*b*</sub> 是包含 Σ<sub>*b*,1</sub> 特征值的对角矩阵。在 MATLAB 中，可用命令 `W = eig(S1, S1 + S2)` 计算 *W*<sub>*b*</sub>（Blankertz et al., 2008b）；此处 `W`、`S1` 和 `S2` 分别表示 *W*<sub>*b*</sub>、Σ<sub>*b*,1</sub> 和 Σ<sub>*b*,2</sub>。
<!-- P10 --> 因而，式（1）中的空间滤波信号 *Z*<sub>*b,i*</sub> 使用式（2）的 *W*<sub>*b*</sub> 后，可使两类带通滤波 EEG 测量数据的方差差异最大。第 *i* 个试次、第 *b* 个带通滤波 EEG 测量数据的 *m* 对 CSP 特征为：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E3"><label>(3)</label><ns0:math id="M41" overflow="scroll"><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">v</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mo class="qopname">log</ns0:mo><ns0:mfrac><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext>diag</ns0:mtext></ns0:mstyle><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">W</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="qopname">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">E</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">E</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">W</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="qopname">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext>tr</ns0:mtext></ns0:mstyle><ns0:mfenced separators="" open="[" close="]"><ns0:mrow><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">W</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="qopname">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">E</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">E</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">W</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="qopname">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow></ns0:mfrac><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P11 --> 其中，<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M4" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">v</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ℝ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:mi>m</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-punc">;</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 和 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M5" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">W</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>b</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 表示 *W*<sub>*b*</sub> 的前 *m* 列和后 *m* 列；diag(·) 返回方阵的对角元素，tr[·] 返回方阵对角元素之和。数据集 2a 使用 m = 2，数据集 2b 使用 m = 1。
<!-- P12 --> 第 *i* 个试次的 FBCSP 特征向量构造如下：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E4"><label>(4)</label><ns0:math id="M42" overflow="scroll"><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">v</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mfenced separators="" open="[" close="]"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">v</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">v</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-op">…</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">v</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>9</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P13 --> 其中，<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M6" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">v</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ℝ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-bin">×</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-open">(</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mn>9</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-bin">*</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:mi>m</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-close">)</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula>，i = 1, 2, …, n；*n* 表示数据中的试次总数。
<!-- P14 --> 为与评估数据区分，包含提取特征数据和真实类别标签的训练数据分别记为：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E5"><ns0:math id="M43" overflow="scroll"><ns0:mtable class="eqnarray" columnalign="right center left"><ns0:mtr><ns0:mtd class="eqnarray-1"><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">V</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mfenced separators="" open="[" close="]"><ns0:mrow><ns0:mtable style="text-align:axis;" equalrows="false" columnlines="none none none none none none none none none" equalcolumns="false" class="array"><ns0:mtr><ns0:mtd class="array" columnalign="center"><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">v</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd class="array" columnalign="center"><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">v</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd class="array" columnalign="center"><ns0:mo class="MathClass-op">⋮</ns0:mo></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd class="array" columnalign="center"><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">v</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>n</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>t</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd class="array" columnalign="center" /></ns0:mtr></ns0:mtable></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:mtd><ns0:mtd class="eqnarray-2" /><ns0:mtd class="eqnarray-3" /><ns0:mtd class="eqnarray-4"><ns0:mtext class="eqnarray">(5)</ns0:mtext></ns0:mtd></ns0:mtr></ns0:mtable></ns0:math></disp-formula>
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E6"><ns0:math id="M44" overflow="scroll"><ns0:mtable class="eqnarray" columnalign="right center left"><ns0:mtr><ns0:mtd class="eqnarray-1"><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">y</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mfenced separators="" open="[" close="]"><ns0:mrow><ns0:mtable style="text-align:axis;" equalrows="false" columnlines="none none none none none none none none none" equalcolumns="false" class="array"><ns0:mtr><ns0:mtd class="array" columnalign="center"><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">y</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd class="array" columnalign="center"><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">y</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd class="array" columnalign="center"><ns0:mo class="MathClass-op">⋮</ns0:mo></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd class="array" columnalign="center"><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">y</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>n</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>t</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd class="array" columnalign="center" /></ns0:mtr></ns0:mtable></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:mtd><ns0:mtd class="eqnarray-2" /><ns0:mtd class="eqnarray-3" /><ns0:mtd class="eqnarray-4"><ns0:mtext class="eqnarray">(6)</ns0:mtext></ns0:mtd></ns0:mtr></ns0:mtable></ns0:math></disp-formula>
<!-- P15 --> 其中，<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M7" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">V</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ℝ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>n</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>t</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-bin">×</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-open">(</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mn>9</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-bin">*</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:mi>m</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-close">)</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-punc">;</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula>、<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M8" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">y</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ℝ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>n</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>t</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-bin">×</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-punc">;</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula>、<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M9" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">v</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">;</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 和 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M10" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">y</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 中，前两个分别表示训练特征数据集和训练真实标签集，后两个分别表示第 *i* 个训练试次的特征向量和真实类别标签，i = 1, 2, …, nt；*n*<sub>*t*</sub> 表示训练数据的试次总数。
### 2.3. 特征选择
<!-- P16 --> 第三阶段采用特征选择算法，从式（5）的 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M11" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">V</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 中选出适合该受试者任务的判别性 CSP 特征。可选用不同的特征选择算法；竞赛期间采用的是基于互信息的最佳单特征（MIBIF）算法和基于互信息的粗糙集约简（MIRSR）算法。交叉验证时，输入数据随机划分为训练数据和验证数据。这 2 种算法仅在训练数据上进行特征选择，依据每个特征与相应运动想象类别之间计算得到的互信息，选取有判别力的 CSP 特征。下面分别说明这 2 种算法。
#### 2.3.1. 基于互信息的最佳单特征算法
<!-- P17 --> 基于互信息的最佳单特征（MIBIF）算法（Ang and Quek, 2006; Jain et al., 2000）采用过滤式方法。算法计算每个特征的互信息并按降序排列，再选取前 *k* 个特征。MIBIF 算法步骤如下。
<!-- P18 --> 步骤 1：初始化。初始化式（5）的特征集 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M12" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mi mathvariant="script">F</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mfenced separators="" open="[" close="]"><ns0:mrow><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-op">…</ns0:mo><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mn>9</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-bin">*</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:mi>m</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">V</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 和式（6）的真实标签集 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M13" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mi mathvariant="script">C</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">y</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula>；其中，<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M14" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ℝ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>n</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-bin">×</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msup></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 是 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M15" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">V</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 的第 *j* 个列向量，每个试次的真实标签为 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M16" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mover accent="true"><ns0:mi>y</ns0:mi><ns0:mo>¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:msub><ns0:mo>∈</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:mo>{</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mo>}</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mo>.</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula>。
<!-- P19 --> 初始化已选特征集 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M17" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mi mathvariant="script">S</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> = ∅。
<!-- P20 --> 步骤 2：计算每个特征 fj ∈ <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M18" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mi mathvariant="script">F</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 与每个类别标签 ω = {1, 2} ∈ <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M19" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mi mathvariant="script">C</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 之间的互信息。
<!-- P21 --> 对所有 j = 1, 2, …(9 * 2m)，按下式计算 I(fj; ω)：
<!-- P22 --> <disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E7"><label>(7)</label><ns0:math id="M45" overflow="scroll"><ns0:mi>I</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">;</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mi>H</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-bin">-</ns0:mo><ns0:mi>H</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P23 --> 其中，<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M20" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mi>H</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-bin">-</ns0:mo><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">∑</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>P</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mo class="qopname">log</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mi>P</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">;</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula>，条件熵为：
<!-- P24 --> <disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E8"><label>(8)</label><ns0:math id="M46" overflow="scroll"><ns0:mtable class="eqnarray" columnalign="right center left"><ns0:mtr><ns0:mtd class="eqnarray-1"><ns0:mi>H</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mtd><ns0:mtd class="eqnarray-2"><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-bin">-</ns0:mo><ns0:munderover accentunder="false" accent="false"><ns0:mrow><ns0:mo mathsize="big">∑</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:munderover><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mo class="qopname">log</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mtd><ns0:mtd class="eqnarray-3" /><ns0:mtd class="eqnarray-4"><ns0:mtext class="eqnarray" /></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd class="eqnarray-1" /><ns0:mtd class="eqnarray-2"><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-bin">-</ns0:mo><ns0:munderover accentunder="false" accent="false"><ns0:mrow><ns0:mo mathsize="big">∑</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:munderover><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:munderover accentunder="false" accent="false"><ns0:mrow><ns0:mo mathsize="big">∑</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>i</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>n</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:munderover><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>f</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mo class="qopname">log</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>f</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:mtd><ns0:mtd class="eqnarray-3" /></ns0:mtr></ns0:mtable></ns0:math></disp-formula>
<!-- P25 --> 其中，<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M21" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>f</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 是第 *i* 个试次在 fj 上的特征值。
<!-- P26 --> 概率 p(ω | fj,i) 可用式（9）和式（10）给出的贝叶斯规则计算。
<!-- P27 --> <disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E9"><label>(9)</label><ns0:math id="M47" overflow="scroll"><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>f</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mfrac><ns0:mrow><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>f</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mi>P</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>f</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow></ns0:mfrac><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P28 --> 其中，p(ω | fj,i) 是给定 fj,i 时类别 ω 的条件概率；p(fj,i | ω) 是给定类别 ω 时 fj,i 的条件概率；P(ω) 是类别 ω 的先验概率；p(fj,i) 为：
<!-- P29 --> <disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E10"><label>(10)</label><ns0:math id="M48" overflow="scroll"><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>f</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:munderover accentunder="false" accent="false"><ns0:mrow><ns0:mo mathsize="big">∑</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:munderover><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>f</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mi>P</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">.</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P30 --> 条件概率 p(fj,i | ω) 可用 Parzen 窗（Parzen, 1962）估计：
<!-- P31 --> <disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E11"><label>(11)</label><ns0:math id="M49" overflow="scroll"><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mi>p</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">^</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>f</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mfrac><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>n</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfrac><ns0:munder class="msub"><ns0:mrow><ns0:mo mathsize="big">∑</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>k</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>I</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:munder><ns0:mi>ϕ</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>f</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-bin">-</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>f</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>k</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>h</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P32 --> 其中，nω 是属于类别 ω 的数据样本数；Iω 是训练数据中属于类别 ω 的试次索引集合；fj,k 是第 *k* 个试次在 fj 上的特征值；Φ 是平滑核函数，其平滑参数 *h* 分别由式（20）和式（21）给出。
<!-- P33 --> 步骤 3：把步骤 2 得到的所有特征按互信息降序排列，选取前 *k* 个特征。数学上，重复执行下式，直至 |S| = k：
<!-- P34 --> <disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E12"><label>(12)</label><ns0:math id="M50" overflow="scroll"><ns0:mi mathvariant="script">F</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mi mathvariant="script">F</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-bin">\</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi mathvariant="bold-script">S</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mi mathvariant="bold-script">S</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-bin">∪</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mi>I</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">;</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:munder class="msub"><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">max</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-punc">.</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-punc">.</ns0:mo><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mn>9</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-bin">*</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:mi>m</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:mi mathvariant="bold-script">F</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:munder><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>I</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">;</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P35 --> 其中，\ 表示集合差，∪ 表示集合并，| 表示“在给定条件下”。
<!-- P36 --> 根据 Ang et al.（2008）的研究，本文使用 k = 4。由于 CSP 特征成对出现，如果某个已选特征的配对特征未被选中，也将其纳入。对 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M23" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">V</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 完成特征选择后，所选特征构成的训练数据记为 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M24" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">X</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ℝ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>n</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-bin">×</ns0:mo><ns0:mi>d</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula>，其中 *d* 的取值范围为 4 至 8。若选中的 4 个特征全部来自 2 对 CSP 特征，则 d = 4；若它们分别来自 4 对 CSP 特征，则由于还要纳入对应的配对特征，d = 8。
#### 2.3.2. 基于互信息的粗糙集约简算法
<!-- P37 --> 基于互信息的粗糙集约简（MIRSR）算法以粗糙集神经模糊系统（RNFS）的包装式方法为基础。该算法利用互信息选取相关性高的属性，并利用粗糙集理论中的知识约简概念选取冗余度低的属性（Ang and Quek, 2006）。MIRSR 算法步骤如下。
<!-- P38 --> 步骤 1：生成模糊隶属函数。初始化式（5）的特征集 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M25" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mi mathvariant="script">F</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mfenced separators="" open="[" close="]"><ns0:mrow><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-op">…</ns0:mo><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mn>9</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-bin">*</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:mi>m</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">V</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 和式（6）的真实标签集 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M26" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mi mathvariant="script">C</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">y</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula>；其中，<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M27" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msubsup><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>T</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msubsup><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ℝ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>n</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-bin">×</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msup></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 是 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M28" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">V</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 的第 *j* 个列向量，每个试次的真实标签为 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M29" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mover accent="true"><ns0:mi>y</ns0:mi><ns0:mo>¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:msub><ns0:mo>∈</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:mo>{</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mo>}</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mo>.</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula>。对于 j = 1, 2, …, (9 * 2m)，使用监督式伪自演化小脑（SPSEC）算法（Ang and Quek, 2012）生成特征 fj 的模糊隶属函数。
<!-- P39 --> 步骤 2：计算每个特征 fj ∈ <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M30" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mi mathvariant="script">F</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 与每个类别标签 ω = {1, 2} ∈ <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M31" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mi mathvariant="script">C</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 之间的互信息。
<!-- P40 --> 对训练数据的 *n* 个试次，给定 *f*<sub>*j*</sub> = [*x*<sub>1,j</sub>, …, *x*<sub>*i,j*</sub>, …, *x*<sub>*n,j*</sub>]，使用生成的隶属函数对每个 *x*<sub>*i,j*</sub> 进行分类。
<!-- P41 --> 根据生成的隶属函数对类别 ω 的正确分类数，估计 p(ω | fj)。
<!-- P42 --> 对所有 j = 1, 2, …(9 * 2m)，按下式计算 I(fj; ω)：
<!-- P43 --> <disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E13"><label>(13)</label><ns0:math id="M51" overflow="scroll"><ns0:mi>I</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">;</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mi>H</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-bin">-</ns0:mo><ns0:mi>H</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P44 --> 其中：
<!-- P45 --> <disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E14"><label>(14)</label><ns0:math id="M52" overflow="scroll"><ns0:mi>H</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-bin">-</ns0:mo><ns0:munderover accentunder="false" accent="false"><ns0:mrow><ns0:mo mathsize="big">∑</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:munderover><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>P</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mo>log</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mi>P</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P46 --> 条件熵为：
<!-- P47 --> <disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E15"><label>(15)</label><ns0:math id="M53" overflow="scroll"><ns0:mi>H</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-bin">-</ns0:mo><ns0:munderover accentunder="false" accent="false"><ns0:mrow><ns0:mo mathsize="big">∑</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:munderover><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mo>log</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">f</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">.</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P48 --> 步骤 3：选择最佳的 *k* 个特征。将步骤 2 得到的所有特征按互信息降序排列，选取前 k = 2 log₂(9 * 2m) 个特征。
<!-- P49 --> 步骤 4：删除冗余特征。删除步骤 3 未选中的隶属函数，并使用粗糙集伪外积（RSPOP）算法（Ang and Quek, 2005）的步骤 2 进行约简。与 MIBIF 算法相同，对 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M32" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">V</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 完成特征选择后，所选特征构成的训练数据记为 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M33" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">X</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mo class="MathClass-rel">∈</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ℝ</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>n</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-bin">×</ns0:mo><ns0:mi>d</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula>，同时选入相应的 CSP 配对特征。
### 2.4. 分类
<!-- P50 --> 第四阶段使用分类算法对所选 CSP 特征建模和分类。这里可以采用不同的分类算法，但 Ang et al.（2008）的研究表明，在 BCI Competition III 数据集 IVa 上，采用朴素贝叶斯 Parzen 窗（NBPW）分类器（Ang and Quek, 2006）的 FBCSP 得到了更好的结果。因此，本文采用下述 NBPW 算法。
<!-- P51 --> 设 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M34" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">X</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-open">[</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">x</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">x</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-op">…</ns0:mo><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">x</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">¯</ns0:mo></ns0:mover></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>n</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-close">]</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 表示包含 *n* 个试次的全部训练数据，<inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M35" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mover accent="true"><ns0:mi>x</ns0:mi><ns0:mo>¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mi>i</ns0:mi></ns0:msub><ns0:mo>=</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:mo>[</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mover accent="true"><ns0:mi>x</ns0:mi><ns0:mo>¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mrow><ns0:mi>i</ns0:mi><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mover accent="true"><ns0:mi>x</ns0:mi><ns0:mo>¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mrow><ns0:mi>i</ns0:mi><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mo>…</ns0:mo><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mover accent="true"><ns0:mi>x</ns0:mi><ns0:mo>¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mrow><ns0:mi>i</ns0:mi><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mi>d</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub></ns0:mrow><ns0:mo>]</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula> 表示第 *i* 个试次中包含 *d* 个已选特征的训练数据，*x* = [*x*<sub>1</sub>, *x*<sub>2</sub>, …, *x*<sub>*d*</sub>] 表示一个随机评估试次。NBPW 分类器从训练数据样本估计 p(x | ω) 和 P(ω)，并用贝叶斯规则预测后验概率 p(ω | x) 最大的类别 ω：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E16"><label>(16)</label><ns0:math id="M54" overflow="scroll"><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">x</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mfrac><ns0:mrow><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">x</ns0:mtext></ns0:mstyle><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mi>P</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">x</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow></ns0:mfrac><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P52 --> 其中，p(ω | x) 是给定随机试次 x 时类别 ω 的条件概率；p(x | ω) 是给定类别 ω 时 x 的条件概率；P(ω) 是类别 ω 的先验概率；p(x) 为：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E17"><label>(17)</label><ns0:math id="M55" overflow="scroll"><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">x</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:munderover accentunder="false" accent="false"><ns0:mrow><ns0:mo mathsize="big">∑</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:munderover><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">x</ns0:mtext></ns0:mstyle><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mi>P</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">.</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P53 --> NBPW 作出朴素假设：给定类别 ω 时，所有特征 *x*<sub>1</sub>、*x*<sub>2</sub>、…、*x*<sub>*d*</sub> 条件独立。由此，可按下式计算 p(ω | x)：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E18"><label>(18)</label><ns0:math id="M56" overflow="scroll"><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mstyle mathvariant="bold"><ns0:mi>x</ns0:mi></ns0:mstyle><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:munderover accentunder="false" accent="false"><ns0:mrow><ns0:mo mathsize="big">∏</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>d</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:munderover><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>x</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">.</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P54 --> NBPW 分类器使用 Parzen 窗（Parzen, 1962）估计条件概率 p(*x*<sub>*j*</sub> | ω)：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E19"><label>(19)</label><ns0:math id="M57" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mover accent="true"><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mo>^</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mrow><ns0:mo>(</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mi>x</ns0:mi><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:msub><ns0:mo>|</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mo>)</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mo>=</ns0:mo><ns0:mfrac><ns0:mn>1</ns0:mn><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mi>n</ns0:mi><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:mfrac><ns0:mstyle displaystyle="true"><ns0:munder><ns0:mo>∑</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:mi>i</ns0:mi><ns0:mo>∈</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mi>I</ns0:mi><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:msub></ns0:mrow></ns0:munder><ns0:mrow><ns0:mi>φ</ns0:mi><ns0:mrow><ns0:mo>(</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mi>x</ns0:mi><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:msub><ns0:mo>−</ns0:mo><ns0:msub><ns0:mover accent="true"><ns0:mi>x</ns0:mi><ns0:mo>¯</ns0:mo></ns0:mover><ns0:mrow><ns0:mi>i</ns0:mi><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mi>j</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mi>h</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mo>)</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:mrow></ns0:mstyle><ns0:mo>,</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:math></disp-formula>
<!-- P55 --> 其中，nω 是属于类别 ω 的数据样本数；Iω 是训练数据中属于类别 ω 的试次索引集合；Φ 是平滑核函数，*h* 为平滑参数。NBPW 分类器使用下列单变量高斯核：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E20"><label>(20)</label><ns0:math id="M58" overflow="scroll"><ns0:mi>ϕ</ns0:mi><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>y</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mi>h</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mfrac><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:msqrt><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:mi>π</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msqrt></ns0:mrow></ns0:mfrac><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>e</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-bin">-</ns0:mo><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mfrac><ns0:mrow><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>y</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msup></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>h</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msup></ns0:mrow></ns0:mfrac></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P56 --> 并采用 Bowman and Azzalini（1997）给出的正态最优平滑策略：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E21"><label>(21)</label><ns0:math id="M59" overflow="scroll"><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>h</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>o</ns0:mi><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mi>t</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mfrac><ns0:mrow><ns0:mn>4</ns0:mn></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>3</ns0:mn><ns0:mi>n</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfrac></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>1</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-bin">∕</ns0:mo><ns0:mn>5</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mi>σ</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P57 --> 其中，σ 表示变量 *y* 的分布标准差。
<!-- P58 --> NBPW 分类器的分类规则为：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E22"><label>(22)</label><ns0:math id="M60" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mtable><ns0:mtr><ns0:mtd><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo>=</ns0:mo><ns0:mtext>arg max </ns0:mtext><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mrow><ns0:mo>(</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo>|</ns0:mo><ns0:mtext>x</ns0:mtext></ns0:mrow><ns0:mo>)</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mo>.</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo>=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:mtd></ns0:mtr></ns0:mtable></ns0:mrow></ns0:math></disp-formula>
<!-- P59 --> CSP 算法最初用于单试次 EEG 的二分类（Ramoser et al., 2000），此后已有多种 CSP 多分类扩展方案（Dornhege et al., 2004a; Dornhege et al., 2004b; Grosse-Wentrup and Buss, 2008），例如在分类器内部使用 CSP、采用一对其余（OVR）方法，以及同时对多分类数据的协方差矩阵进行对角化。本节说明为处理 BCI Competition IV 数据集 2a 而提出的 3 种 FBCSP 多分类扩展：分治法（DC）、成对法（PW）和一对其余法（OVR）。
### 2.5. 分治法
<!-- P60 --> 设 ω, ω′ ∈ {1, 2, 3, 4} 分别表示左手、右手、足和舌运动想象。分治（DC）法采用树形分类器（Zhang et al., 2007; Chin et al., 2009）。对于 BCI Competition IV 数据集 2a 的 4 类运动想象，需要 4 − 1 = 3 个二分类器。因此，NBPW 分类器的分类规则由式（22）扩展为：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E23"><label>(23)</label><ns0:math id="M61" overflow="scroll"><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mo class="qopname">min</ns0:mo><ns0:mfenced separators="" open="[" close="]"><ns0:mrow><ns0:munder class="msub"><ns0:mrow><ns0:mo class="qopname">arg max</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mtable class="subarray-c" rowspacing="0" columnalign="center"><ns0:mtr><ns0:mtd><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mn>3</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mn>4</ns0:mn></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>′</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-rel">></ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mtd></ns0:mtr></ns0:mtable></ns0:mrow></ns0:munder><ns0:mfenced separators="" open="|" close="|"><ns0:mrow><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>p</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext>DC</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mi>x</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">></ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>p</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>D</ns0:mi><ns0:mi>C</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>′</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mi>x</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P61 --> 其中，pDC(ω | x) 是对随机试次 x 在类别 ω 与类别 ω′ 之间进行分类的概率；若 ω′ = Ø，则 p(ω′ | x) = 0。
<!-- P62 --> 例如，在 DC 分类器中取 ω = 1、ω′ = {2, 3, 4}，先区分类别 1 与类别 2、3、4。若随机试次样本被判为类别 ω，分类过程结束；若被判为类别 ω′，则交给下一个 DC 分类器，此时 ω = 2、ω′ = {3, 4}。若该样本再次被判为类别 ω′，则最后交给 ω = 3、ω′ = 4 的 DC 分类器。
### 2.6. 成对法
<!-- P63 --> 设 ω, ω′ ∈ {1, 2, 3, 4} 分别表示左手、右手、足和舌运动想象。成对（PW）法计算用于区分每一类别对的 CSP 特征（Müller-Gerking et al., 1999; Duda et al., 2001）。对于 BCI Competition IV 数据集 2a 的 4 类运动想象，需要 4 * (4 − 1)/2 = 6 个二分类器来区分类别 ω 与 ω′。因此，NBPW 分类器的分类规则由式（22）扩展为基于各二分类器预测标签的多数投票方案：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E24"><label>(24)</label><ns0:math id="M62" overflow="scroll"><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:munder class="msub"><ns0:mrow><ns0:mo class="MathClass-op">arg max</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mn>3</ns0:mn><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo><ns0:mn>4</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:munder><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mfenced separators="" open="[" close="]"><ns0:mrow><ns0:munderover accentunder="false" accent="false"><ns0:mrow><ns0:mo mathsize="big">∑</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mtable class="subarray-c" rowspacing="0" columnalign="center"><ns0:mtr><ns0:mtd><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>′</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>′</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-rel">≠</ns0:mo><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mtd></ns0:mtr></ns0:mtable></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mn>4</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:munderover><ns0:mspace width="0.3em" class="thinspace" /><ns0:mfenced separators="" open="|" close="|"><ns0:mrow><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>p</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext>PW</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">x</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-rel">></ns0:mo><ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mi>p</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext>PW</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mfenced separators="" open="(" close=")"><ns0:mrow><ns0:msup><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi></ns0:mrow><ns0:mrow><ns0:mi>′</ns0:mi></ns0:mrow></ns0:msup><ns0:mo class="MathClass-rel">|</ns0:mo><ns0:mstyle class="text"><ns0:mtext class="textbf" mathvariant="bold">x</ns0:mtext></ns0:mstyle></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow></ns0:mfenced></ns0:mrow></ns0:mfenced><ns0:mo class="MathClass-punc">,</ns0:mo></ns0:math></disp-formula>
<!-- P64 --> 其中，pPW(ω | x) 是对随机试次 x 在类别 ω 与类别 ω′ 之间进行分类的概率；此处的绝对值算子 |·| 在条件为真时返回 1，否则返回 0。多数投票出现平局时，选择 ω 较小的类别标签。
<!-- P65 --> 例如，在 PW 分类器中取 ω = 2，ω′ = 1、3 或 4；此时使用 3 PW 分类器区分类别 2 与类别 1、3、4。
### 2.7. 一对其余法
<!-- P66 --> 设 ω, ω′ ∈ {1, 2, 3, 4} 分别表示左手、右手、足和舌运动想象。一对其余（OVR）法计算用于区分每个类别与其余类别的 CSP 特征（Dornhege et al., 2004b; Duda et al., 2001）。对于 BCI Competition IV 数据集 2a 的 4 类运动想象，需要 4 个二分类器。因此，NBPW 分类器的分类规则由式（22）扩展为：
<disp-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="E25"><label>(25)</label><ns0:math id="M63" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mtable><ns0:mtr><ns0:mtd><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo>=</ns0:mo><ns0:mtext>arg max </ns0:mtext><ns0:msub><ns0:mi>p</ns0:mi><ns0:mrow><ns0:mtext>OVR</ns0:mtext></ns0:mrow></ns0:msub><ns0:mrow><ns0:mo>(</ns0:mo><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo>|</ns0:mo><ns0:mtext>x</ns0:mtext></ns0:mrow><ns0:mo>)</ns0:mo></ns0:mrow><ns0:mo>,</ns0:mo></ns0:mrow></ns0:mtd></ns0:mtr><ns0:mtr><ns0:mtd><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo>=</ns0:mo><ns0:mn>1</ns0:mn><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mn>2</ns0:mn><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mn>3</ns0:mn><ns0:mo>,</ns0:mo><ns0:mn>4</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:mtd></ns0:mtr></ns0:mtable></ns0:mrow></ns0:math></disp-formula>
<!-- P67 --> 其中，pOVR(ω | x) 是对随机试次 x 在类别 ω 与类别 ω′ = {1, 2, 3, 4}\ω 之间进行分类的概率；\ 表示集合差运算。
<!-- P68 --> 例如，在 OVR 分类器中取 <inline-formula xmlns:ns0="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><ns0:math id="M37" overflow="scroll"><ns0:mrow><ns0:mi>ω</ns0:mi><ns0:mo class="MathClass-rel">=</ns0:mo><ns0:mn>2</ns0:mn></ns0:mrow></ns0:math></inline-formula>，则 ω′ = {1, 3, 4}；此时区分类别 2 与合并后的类别 1、3、4。
## 3. 实验结果
<!-- P69 --> 本文在 BCI Competition IV（Tangermann et al., 2012）数据集 2a 和 2b 上评价各算法的性能。竞赛期间只提供训练数据的类别标签，评估数据的类别标签则在竞赛结果公布后才公开。竞赛规则还规定，两个数据集所用的算法都必须满足因果性，并需提交从注视十字出现到运动想象结束期间每个时间样本的预测标签。性能以评估数据上达到的最大 kappa 值评判。
### 3.1. 数据集 2a
<!-- P70 --> BCI Competition IV（Tangermann et al., 2012）数据集 2a 包含 9 名受试者的 4 类运动想象 EEG 测量数据，即左手、右手、双足和舌运动想象。每名受试者记录 2 个会话，一个用于训练，另一个用于评估。每个会话含 288 个试次，记录 22 个 EEG 通道和 3 个单极眼电图（EOG）通道，参考电极为左侧乳突。本文采用 MIBIF 特征选择算法，并使用 FBCSP 的 3 种多分类扩展（DC、PW 和 OVR），评价 FBCSP 算法在 4 类运动想象数据上的性能。
#### 3.1.1. 实验流程
<!-- P71 --> 图 2 说明如何从数据集 2a 中提取单试次 EEG 数据，以训练 FBCSP 算法。对于带通滤波后的 EEG 测量数据，取 m = 2 对 CSP 特征，并使用视觉提示出现后 0.5–2.5 s 的时间段。图 2 还表明，FBCSP 算法在任一时刻都使用 2 s 的 EEG 数据窗进行计算；为满足因果性标准，某个时间样本的分类输出由其前 2 s EEG 数据计算。计算一个单试次的分类输出时，使用标为 `test_time_segment` 的 EEG 数据，其范围从注视十字出现前 −2 s 开始，直至运动想象结束。为计入因果滤波器的过渡效应，还在 `test_time_segment` 两端各额外提取 0.5 s EEG 数据，标为 `extract_time_segment`。由于计算评估数据每个时间点的开销很大，分类输出只在每隔 10 个时间样本的位置计算一次，再用零阶保持映射回每个时间样本。
##### 图 2：数据集 2a 中，从训练数据提取单试次 EEG 片段用于多分类 FBCSP 训练阶段，以及在评估阶段对一个单试次的完整时间段使用 FBCSP 多分类扩展生成分类输出。
#### 3.1.2. 交叉验证结果
<!-- P72 --> 首先在训练数据上研究 FBCSP 的 3 种多分类扩展的单试次分类性能。性能指标为通过 10 × 10 折交叉验证得到的平均 kappa 值。数据集 2a 训练数据上的结果见表 1。
### 表 1：在 BCI Competition IV 数据集 2a 训练数据上，CSP 及 FBCSP 三种多分类扩展的 10 × 10 折交叉验证性能，以最大 kappa 值表示。
| 受试者 | CSP | FBCSP | | |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | DC | PW | OVR |
| 1 | 0.644 ± 0.064 | 0.728 ± 0.012 | 0.778 ± 0.021 | 0.769 ± 0.069 |
| 2 | 0.423 ± 0.056 | 0.417 ± 0.022 | 0.446 ± 0.031 | 0.475 ± 0.058 |
| 3 | 0.797 ± 0.070 | 0.805 ± 0.006 | 0.858 ± 0.010 | 0.834 ± 0.071 |
| 4 | 0.365 ± 0.053 | 0.436 ± 0.013 | 0.469 ± 0.018 | 0.484 ± 0.058 |
| 5 | 0.215 ± 0.046 | 0.618 ± 0.021 | 0.628 ± 0.023 | 0.601 ± 0.063 |
| 6 | 0.280 ± 0.049 | 0.309 ± 0.025 | 0.325 ± 0.028 | 0.347 ± 0.053 |
| 7 | 0.626 ± 0.064 | 0.831 ± 0.016 | 0.852 ± 0.009 | 0.862 ± 0.072 |
| 8 | 0.774 ± 0.069 | 0.697 ± 0.016 | 0.789 ± 0.021 | 0.807 ± 0.070 |
| 9 | 0.719 ± 0.067 | 0.680 ± 0.010 | 0.776 ± 0.014 | 0.788 ± 0.069 |
| 平均值 | 0.538 ± 0.060 | 0.613 ± 0.016 | 0.658 ± 0.020 | 0.663 ± 0.065 |
<!-- P73 --> OVR 扩展取得最高的总体平均 kappa 值 0.663。配对 t 检验显示，OVR 与 PW 方法之间无显著差异（p = 0.480），OVR 与 DC 方法之间则有显著差异（p = 0.006）。在 FBCSP 的 3 种多分类扩展中，DC 方法性能最差。这可能是因为 DC 仅用 3 个分类器处理 4 类运动想象，分类器数量少于 PW 和 OVR。DC 的分类顺序也可能通过优化提高性能。DC 分类顺序共有 12 种可能排列，若依据 10 × 10 折交叉验证结果，为每名受试者穷举最优分类顺序，计算开销会很大，因此本文未作穷举。本文改为依据每个类别与其他类别进行分类时的交叉验证结果，对各类别排序，据此确定每名受试者的分类顺序。OVR 的总体平均 kappa 值最高，并在 6 名受试者（2、4、6、7、8 和 9）上表现最好；PW 则在 3 名受试者（1、3 和 5）上表现最好。OVR 使用 4 个分类器，PW 使用 6 个，因此 OVR 的计算开销也低于 PW。根据这些结果，竞赛提交采用了 FBCSP 的 OVR 多分类扩展。
<!-- P74 --> 为便于比较，表 1 还列出采用 7–35 Hz 带通滤波器的 CSP 算法在 OVR 多分类扩展下的结果。对于全部 9 名受试者，FBCSP 算法的性能均高于 CSP 算法；配对 t 检验显示，采用 OVR 多分类扩展时，这 2 种算法之间存在显著差异（p = 0.012）。
#### 3.1.3. 未见评估数据结果
<!-- P75 --> FBCSP 算法在 BCI Competition IV 数据集 2a 评估数据上的结果见表 2。
### 表 2：CSP 及 FBCSP 三种多分类扩展在 BCI Competition IV 数据集 2a 未见评估数据上的分类结果。
| 受试者 | CSP | FBCSP | | |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | | DC | PW | OVR |
| 1 | 0.556 | 0.708 | 0.782 | 0.676 |
| 2 | 0.310 | 0.370 | 0.407 | 0.417 |
| 3 | 0.704 | 0.657 | 0.755 | 0.745 |
| 4 | 0.444 | 0.472 | 0.528 | 0.481 |
| 5 | 0.222 | 0.407 | 0.417 | 0.398 |
| 6 | 0.199 | 0.264 | 0.185 | 0.273 |
| 7 | 0.606 | 0.727 | 0.796 | 0.773 |
| 8 | 0.759 | 0.579 | 0.741 | 0.755 |
| 9 | 0.722 | 0.495 | 0.537 | 0.606 |
| 平均值 | 0.503 | 0.520 | 0.572 | 0.569 |
<!-- P76 --> PW 扩展取得最高的总体平均 kappa 值 0.572。配对 t 检验显示，OVR 与 PW 方法之间无显著差异（p = 0.898），OVR 与 DC 方法之间也无显著差异（p = 0.055）。3 种方法中，DC 的相对性能最差。PW 的平均 kappa 值略高于 OVR，并在 5 名受试者（1、3、4、5、7）上表现最好；OVR 则在 4 名受试者（2、6、8、9）上表现最好。OVR 和 PW 在 9 名受试者上的平均 kappa 值都约为 0.57；相对于竞赛提交的其他所有方案，这一成绩将位列第一。
<!-- P77 --> 为便于比较，表 2 还列出采用 7–35 Hz 带通滤波器的 CSP 算法在 OVR 多分类扩展下的结果。配对 t 检验显示，采用 OVR 多分类扩展时，FBCSP 与 CSP 算法之间无显著差异（p = 0.059）。不过，FBCSP 的平均 kappa 值更高，并在 9 名受试者中的 8 名上优于 CSP，受试者 8 除外。
<!-- P78 --> 比较表 1 和表 2 可见，3 种方法在评估数据上的结果都低于交叉验证结果。具体而言，在全部 9 名受试者上，FBCSP 的 OVR 多分类扩展在评估数据上的总体平均 kappa 值 0.569，低于交叉验证的 0.663。
### 3.2. 数据集 2b
<!-- P79 --> BCI Competition IV（Tangermann et al., 2012）数据集 2b 按 Leeb et al.（2007）的实验流程，包含 9 名受试者的 2 类运动想象 EEG 测量数据，即左手和右手运动想象。每名受试者记录 5 个会话。每个会话的 EEG 数据来自 3 个双极导联（C3、Cz 和 C4），另记录 3 个单极 EOG 通道。训练数据包括前 2 个会话和第 3 个会话，分别含 240 个无视觉反馈试次和 160 个有视觉反馈试次。评估数据由 2 个会话的 EEG 数据组成，共 320 个试次。本文分别采用 MIBIF 和 MIRSR 特征选择算法，评价 FBCSP 在 2 类运动想象数据上的性能。
#### 3.2.1. 实验流程
<!-- P80 --> 图 3 说明如何从数据集 2b 中提取单试次 EEG 数据，以训练 FBCSP 算法。实验流程与数据集 2a 相似，同样使用视觉提示出现后 0.5–2.5 s 的时间段训练 FBCSP。但数据集 2b 只有 3 个 EEG 通道可用于空间滤波，因此 *m* 的设置受到限制，本文使用 m = 1 对 CSP 特征。
##### 图 3：数据集 2b 中，从训练数据提取单试次 EEG 片段用于 FBCSP 训练阶段，以及在评估阶段对一个单试次的完整时间段使用 FBCSP 生成分类输出。
#### 3.2.2. 交叉验证结果
<!-- P81 --> 首先在训练数据上研究采用 2 种特征选择算法的 FBCSP 单试次分类性能。性能指标为通过 10 × 10 折交叉验证得到的平均 kappa 值。使用数据集 2b 全部训练会话的结果见表 3。
### 表 3：在 BCI Competition IV 数据集 2b 上，使用全部训练会话时采用 MIBIF 或 MIRSR 特征选择的 FBCSP，以及使用所选训练会话时采用 CSP 或使用 MIRSR 特征选择的 FBCSP，其 10 × 10 折交叉验证性能，以最大 kappa 值表示。
| 受试者 | 全部会话 | | 所选会话 | |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| | FBCSP | FBCSP | CSP | FBCSP |
| | MIBIF | MIRSR | | MIRSR |
| 1 | 0.492 ± 0.012 | 0.546 ± 0.017 | 0.524 ± 0.085 | 0.627 ± 0.014 |
| 2 | 0.223 ± 0.020 | 0.208 ± 0.028 | 0.190 ± 0.057 | 0.208 ± 0.028 |
| 3 | 0.223 ± 0.024 | 0.244 ± 0.023 | 0.246 ± 0.061 | 0.244 ± 0.023 |
| 4 | 0.896 ± 0.003 | 0.888 ± 0.003 | 0.988 ± 0.136 | 0.988 ± 0.000 |
| 5 | 0.685 ± 0.005 | 0.692 ± 0.005 | 0.759 ± 0.125 | 0.765 ± 0.011 |
| 6 | 0.491 ± 0.006 | 0.534 ± 0.012 | 0.491 ± 0.111 | 0.650 ± 0.022 |
| 7 | 0.430 ± 0.015 | 0.409 ± 0.013 | 0.703 ± 0.123 | 0.729 ± 0.010 |
| 8 | 0.438 ± 0.007 | 0.413 ± 0.013 | 0.758 ± 0.125 | 0.761 ± 0.007 |
| 9 | 0.558 ± 0.016 | 0.583 ± 0.010 | 0.793 ± 0.127 | 0.764 ± 0.009 |
| 平均值 | 0.493 ± 0.012 | 0.502 ± 0.014 | 0.605 ± 0.106 | 0.637 ± 0.014 |
<!-- P82 --> 使用全部训练会话时，MIRSR 特征选择算法取得的总体平均 kappa 值 0.502，高于 MIBIF。对结果作配对 t 检验，MIRSR 与 MIBIF 特征选择算法之间无显著差异（p = 0.369）。MIRSR 在 5 名受试者（1、3、5、6 和 9）上表现最好，MIBIF 则在 4 名受试者（2、4、7 和 8）上表现最好。根据这些结果，竞赛提交采用了 MIRSR 特征选择算法。
<!-- P83 --> 随后，本文用 10 × 10 折交叉验证进行穷举搜索，考察纳入或排除前 2 个训练数据会话是否会影响采用 MIRSR 特征选择算法的 FBCSP 性能。前 2 个训练会话没有视觉反馈，而第 3 个训练会话有视觉反馈。根据穷举搜索结果，对 6 名受试者（4、5、6、7、8 和 9）只用第 3 个训练会话训练 FBCSP；对受试者 1 只用第 1 和第 3 个训练会话；对受试者 2 和 3 则使用全部 3 个训练会话。使用这些所选会话的交叉验证结果也列于表 3。所选会话的平均 kappa 值为 0.637，高于全部会话的 0.502；配对 t 检验显示，所选会话与全部会话所得结果存在显著差异（p = 0.012）。
<!-- P84 --> 为便于比较，表 3 还列出在所选会话上采用 7–35 Hz 带通滤波器的 CSP 算法结果。配对 t 检验显示 FBCSP 与 CSP 之间无显著差异（p = 0.151），但 FBCSP 的平均 kappa 值更高，并在 9 名受试者中的 6 名上优于 CSP，受试者 3、4 和 9 除外。
#### 3.2.3. 未见评估数据结果
<!-- P85 --> 使用所选训练会话的 FBCSP 算法在 BCI Competition IV 数据集 2b 评估数据上的结果见表 4。
### 表 4：CSP 和 FBCSP 在 BCI Competition IV 数据集 2b 未见评估数据上的分类结果。
| 受试者 | CSP | FBCSP | |
| --- | --- | --- | --- |
| | | MIBIF | MIRSR |
| 1 | 0.319 | 0.356 | 0.400 |
| 2 | 0.229 | 0.171 | 0.207 |
| 3 | 0.125 | 0.169 | 0.219 |
| 4 | 0.925 | 0.963 | 0.950 |
| 5 | 0.525 | 0.850 | 0.856 |
| 6 | 0.500 | 0.594 | 0.613 |
| 7 | 0.544 | 0.556 | 0.550 |
| 8 | 0.856 | 0.856 | 0.850 |
| 9 | 0.656 | 0.750 | 0.744 |
| 平均值 | 0.520 | 0.585 | 0.599 |
<!-- P86 --> 采用 MIRSR 特征选择算法的 FBCSP 取得更高的总体平均 kappa 值 0.599。配对 t 检验显示，2 种特征选择算法之间无显著差异（p = 0.127）。采用 MIRSR 的 FBCSP 在 5 名受试者（1、2、3、5 和 6）上表现最好，采用 MIBIF 则在 4 名受试者（4、7、8 和 9）上表现最好。无论选择哪一种特征选择算法，采用 MIBIF 或 MIRSR 的 FBCSP 按平均 kappa 值计算，都将相对优于竞赛中的其他提交方案。
<!-- P87 --> 为便于比较，表 4 还列出采用 7–35 Hz 带通滤波器的 CSP 算法结果。配对 t 检验显示 FBCSP 与 CSP 之间无显著差异（p = 0.057）。采用 MIRSR 特征选择算法的 FBCSP 平均 kappa 值也更高，为 0.599，并在 9 名受试者中的 7 名上优于 CSP，受试者 2 和 8 除外。
<!-- P88 --> 比较表 3 和表 4 可见，采用 MIRSR 的 FBCSP 在评估数据上的总体平均 kappa 值 0.599，低于交叉验证的 0.637；9 名受试者中有 7 名符合这一情况，受试者 5 和 8 除外。
## 4. 结论
<!-- P89 --> 本文使用 FBCSP 算法对 2 类和 4 类运动想象单试次 EEG 数据进行分类，比较了采用不同特征选择算法和不同 FBCSP 多分类扩展时的结果，并与 CSP 算法以及 BCI Competition IV 数据集 2a 和 2b 的其他提交方案作比较。本研究虽未纳入其他算法，但此前对 BCI Competition III 数据集 IV 的 2 类运动想象数据所作研究表明，采用支持向量机（SVM）的改进 SPEC-CSP 算法在 5 名受试者上取得平均 89.5% 的 10 × 10 折交叉验证分类准确率（Wu et al., 2008），FBCSP 算法则取得 90.3%（Ang et al., 2008）。尽管这些结果未必可以直接比较，既往研究仍提示 SPEC-CSP 在数据集 2a 和 2b 上可能取得与 FBCSP 相近的结果。
<!-- P90 --> FBCSP 算法能够自主选择有判别力的受试者特异性频率范围，用于 EEG 测量数据的带通滤波。在数据集 2b 的 2 类运动想象数据中，虽然 EEG 数据仅有 3 个双极导联，但采用基于互信息的粗糙集约简（MIRSR）或基于互信息的最佳单特征（MIBIF）算法时，FBCSP 均在所有参赛方案中取得最好成绩。MIBIF 特征选择算法依赖一个元参数，即所选特征数；本文依据 Ang et al.（2008）在上一届 BCI Competition III 数据集 4a 的 2 类运动想象数据上的结果设置该参数。若改用嵌套交叉验证优化所选特征数，MIBIF 的结果仍可能进一步提高。在数据集 2a 的 4 类运动想象数据中，FBCSP 虽最初面向 2 类运动想象设计，但一对其余（OVR）和成对（PW）多分类扩展同样取得了相对最好的成绩。
## 利益冲突声明
<!-- P91 --> 作者声明，本研究开展过程中不存在任何可能被视为潜在利益冲突的商业或财务关系。
## 致谢
作者感谢 BCI Competition IV 数据集 2a 和 2b 的竞赛组织者及数据集提供者（Tangermann et al., 2012）。
## 版权与许可
版权所有 © 2012 Ang、Chin、Wang、Guan 和 Zhang。本文依照[知识共享署名-非商业性使用 3.0 许可协议](http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/)开放获取；在注明原作者和原始来源的前提下，允许在其他载体中作非商业性使用、传播和复制。
## 参考文献（保留原文）
- Ang K. K. Chin Z. Y. Zhang H. Guan C. (2008). “Filter bank common spatial pattern (FBCSP) in brain-computer interface,” in Proceedings of the IEEE International Joint Conference on Neural Networks, Hong Kong, 2391 – 2398
- Ang K. K. Quek C. (2005). RSPOP: rough set-based pseudo outer-product fuzzy rule identification algorithm. Neural Comput. 17, 205 – 243 10.1162/0899766052530857 15563753
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